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“core city”とはどんな市のことを言いますか？

core city は「中核市、都市の中心部、中心都市」と訳します。

日本では、主に「中核市」という意味です。
日本では中核市の基準が明確に定められているため（人口や面積などの規模が基準）、”core cities of Japan”「日本の中核市」というと基準を満たした中核市として設定されている都市のことを言います。ちなみに、日本の「政令指定都市」は、中核市よりも規模が大きく、都市としての事務権限が大きい都市のことです。

イギリスにも、独自の基準で設定された中核市 Core Cities があります。
アメリカには特にありません。 国によって異なります。

一般的には、単なる「都市の中心部、中心都市、大都市」という意味で使われます。
central city とも言います。人口密度の高い、都市の中心部のことです。
core city(=central city)の反対語は suburb「郊外」です。

日本の中心都市を表す場合は、central city の方が適切でしょう。

If Tokorozawa city becomes a core city in the future, it will stimulate the economy.
将来、もし所沢市が中核市になれば、経済活性化にもつながる。

Name some core cities in our country.
我々の国の中心都市名をいくつか挙げてみて。

Can you remove the core of an apple using a knife?
ナイフを使ってリンゴの芯を取り除くことができますか？