let は、この3つの中で最もカジュアルな表現で「許す」というよりも「したいことを自由にさせる」というニュアンスが強いです。
次に文法的にそれぞれ説明します。 permit / allow は性質がよく似ていて、受け身の形をとれます。 また、直後に人を置くと、そのあとには to 不定詞が必要です。 – permit / allow someone to do something let は受け身にできず、to 不定詞も必要ありません。 – let someone do something
例文も含めて確認してください。
He has not decided yet whether his leg injury will permit him to play this weekend. 彼は足の怪我で今週末にプレーできるかどうかまだ決めていません。
I would not allow a child to have a TV or a computer in their room. 子供が自分の部屋にテレビやコンピューターを置くことを許可しません。