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「この下書きを終えてからスピーチの練習をしないといけない」って英語でどういいますか？

この下書きは「this draft」と言います。後は特に難しい用法は無いので、以下を参考にしてください。

I have to finish writing this draft and then practice my speech.
この下書きを終えてからスピーチの練習をしないといけない

プロ野球ドラフト会議の”ドラフト”とはどういった意味合いですか？

プロ野球ドラフト会議で馴染み深い”draft(ドラフト)”という単語は、厳密にいえば、『原稿を書く、下書きする』といった意味があります。

“draft”には、
その他、『徴兵する』というの意味も持ち合わせています。

これらの文章で使われている”draft”は、 以下例文で使われているドラフト会議の”ドラフト”と同じです。

ドラフトで指名された人は、その球団にしか入団できない仕組みですよ！本当は別のチームに行きたくても！

その意味でも、ドラフト会議の”ドラフト”は、徴兵に似たニュアンスがあります。

It is just a rough draft right now, so I don’t really want to show it to you.
今はラフな下書きだから、あんまり見せたくない。

The army drafted him when he was 21.
21歳の時に彼を徴兵した。

draft と draught はアメリカ英語とイギリス英語だと習ったのですが、完全にかぶるわけでもないと習いました。
具体的にはどういうことでしょうか？

draft と draught はアメリカ英語とイギリス英語という認識で合っています。
ただし、例えば「草案、草稿、下書き」の場合は、アメリカ英語でもイギリス英語でも draft を使います。

draught を使う場合は「隙間風」の訳の時や、輸入ビールや高級バーから出るようなビールの場合に「draught beer」と使われます。アメリカの一般的なビールの時には「draft beer」と紹介されます。

Draft beer is the kind that comes out of the pumps at a bar.
ドラフトビールはバーのビールサーバーからつぐ種類のビールです。
※アメリカでの紹介

I bought a draft beer for my friend.
友達にドラフトビールを買った。
※イギリスでの話か、アメリカでなら輸入ビールなどを買ったととれる