英語力をUPするの総合学習

Bye bye って子供っぽい言い方なの？

はい。
Bye bye はすごく子供っぽく聞こえます。
これは日本でも同じで、友達などには「バイバイ」って使っても問題ありませんが、ビジネスのようなフォーマルな場面では「バイバイ」なんて聞いたことがありません。
これと全く同じだと考えて下さい。

英語には暗黙のルールのようなものがあり、同じ言葉を2回繰り返すのはすごい幼稚に聞こえてしまいますので、Bye （1回）ですと特に幼稚に聞こえたりはしません。
それ以外には
・Bye bye（ばいばい）
・Bye（じゃあね）
・See you later（またね）
・See you soon（後でね）
などを使うのもいいでしょう。

また、Bye bye. には「バイバイ」ではなく「ババイ」という発音の仕方もあり、この場合ですと大人でも普通に使います。ポイントは綴りは同じですが、言い方に違いがあり、そこから大人っぽい英語になるというわけです。

Bye bye. （ババイ）
じゃあね

Bye bye. （バイバイ）
ばいばぁい

Bye って言われたらなんて返すといいの？

一番よく聞くのは、Bye と言い返すパターンです。
Bye Bye は子供っぽいので大人は一回だけ Bye を使ってください。
その他には以下を参考にしてください。

Take it easy.
気楽にいけよ （かっこよく言いたい時）

Laters
あとでな （仲のいい友達にいう時）

See you later alligator
バイバイワニさん （おちゃらけたい時）

英語で Good-by ってネイティブは使うの？

Good-by には「永遠の別れ」というニュアンスが含まれているので、相手に言うと「もう会うことは無い」というネガティブなイメージを与えてしまうので日常生活ではあまり使われていません。
代わりに以下3つを使うといいでしょう。

Bye
ばいばい

See ya
またね

Have a good one
良い一日を