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“health declined”はどんなニュアンスの意味合いですか？

“decline（ディクライン）”は「拒否する」という意味です。
この意味での例文は①を確認してください。

その他では、「衰え」「減少」という意味もありますので、合わせて覚えておくと大変便利です。
この意味での例文は②を確認してください。

また、例文③のような、健康状態に対しても用いることができます。

I often decline to go out for a drink when I don’t have money.
お金がない時は飲み会の誘いを断る。①

Japanese population declined by 3% last year.
日本の人口が3%減少した。②

My health declined.
健康状態が”衰えた”→『悪化した』③

”decline” と ”refuse” は同じ意味ですか？
異なるニュアンスは何かありますか？

『減少する、衰退する、断る』といった意味を持つ”decline(ディクライン)

“decline”と同じような意味を持つ『refuse』ですが、（〜に対してお断り）をする場合に用いた時、それぞれが持つニュアンスは異なってきます。

例えば、”decline”を使うと、 例文①のような、ソフトな響きがあります。

一方、『refuse』は（キッパリと断る、拒否する）といった、例文②のようなハードなニュアンスになります。

さらにもっと強い拒絶は、reject になり「かなり強い態度できっぱり断る・拒絶する」の意味になります。

以下が「断る」の強弱です。
decline < refuse < reject
※右に行くほど強い拒絶です。

We need to decline. We just don’t have time to meet the deadline.
私たちはお断りさせていただく必要があります。締め切りに間に合わせる時間がありません。

He refused to help me.
彼は私への援助をきっぱり断わった。

decline は「減る」という意味だと習いましたが、”He declined my offer.” という文の意味がわかりません。

decline には「減る」という意味があります。

例えば、”The sales have declined.” と言うと、「売り上げが減った。」という意味になります。

気を付けてほしいのは、「減る」という意味になるのは、decline が自動詞のときです。

一方、”He declined my offer.” のときは、my offer が目的語になっており、decline は他動詞です。
他動詞の decline は「断る」という意味で、文全体では、「彼は私のオファーを断った。」という意味になります。
さらに、decline は「丁重に」というニュアンスも含みますので、以下のように訳すのが適切です。

He declined my offer.
彼は私のオファーを丁重に断った。