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「仕事で出張に行く」という表現をする場合、”go on a business trip”のようにtrip「旅行」を使用した方が良いですか？
trip を省略して”go on business” だけでは通じませんか？

“go on a business trip” でも”go on business” でもどちらでも正しいです。
on business というフレーズは「商用で、仕事で」という意味です。
trip を省略しても同じ意味になります。

ちなみに、
“go to a business trip ×”とは言いません。
“to”の後は行き先や場所・地名になります。
例）「出張でニューヨークに行った。」
I went to New York on business.
I went to New York on a business trip.
I went on a business trip to New York.

仕事ではなく、「遊びで・旅行で」と伝えたい場合、以下の表現をします。
to go on a vacation「遊びで〜に行く」
to go on a trip「旅行に行く」
to travel　「旅行する」

Karen is currently in London on business.
カレンは今仕事でロンドンにいる。

He started up his own clothing business.
彼は、衣料品のビジネスを始めた。

His daughter took over his business after his retirement.
彼の引退後、彼の娘が事業を引き継いだ。

「あなたには関係のない」って言いたい場合、英語でどう表現しますか？

よく使われるのは、
∟ It’s none of your business.
で、相手に「干渉しないで」と伝えたい場合に用いられます。
※ one’s business は、否定文で用いられ、「干渉する権利/かかわり合いのあること」という意味になります。

また、「your → my」にすると、
∟ It’s none of my business.
（私の知ったことじゃない/私には関係のない）
のような意味になります。

その他にも、
∟ Mind your own business.
※ これはここで紹介している中で一番きつい言い方です。
∟ It’s not your concern.
※ このフレーズは直訳のままですね。

では実際の使われ方を見ていきましょう。

Why? It’s none of your business.
どうして？ あなたに関係ないでしょ。
※ 友達でもないのにプライバシーなことを聞かれた時に

I don’t know. Mind your own business.
わかりません。あなたには関係ありませんよ。
※ 友達でもないのにプライバシーなことを聞かれた時にケンカ腰での返事

It’s not your concern. Keep out of it.
関係ないでしょ。かまうな
※ Keep out of it.（口出ししないで）というフレーズ

my work, my business にニュアンスの違いはありますか？

my work : 私の仕事
my business : 私の事業
∟ 事業主として事業をしている場合に使われる

ただし、for work, for business の場合ですと、両方「仕事用」という意味になります。

The company bought a new computer for my work. 会社が、私の仕事用に新しいパソコンを買った。 I bought a new computer for my business. 私は、私の事業用の新しいパソコンを買った。 ※「my business」は、自分が事業主として事業を営んでいる場合に使用されます。 因みに、所有格「my」のない「for work」と「for business」の場合、共に「仕事用」という意味になります。

I’m in to my work.
自分の仕事に没頭しています。

I’m in to my business.
自分の事業に没頭しています。

Business is business. の英文の意味を中国語で教えて貰えますか？

以下発音とともに確認してください。

Business is business.
公事公办。