英語力をUPするの総合学習

ではまずは一問目です。

この問題のポイントは sent です。
多くの場合、疑問文では動詞は原形になるのでした。
ところがここでは send の過去形もしくは過去分詞形である sent になっています。
ここで過去形の sent が来るのは1-4を見ても明らかで、現在完了形の疑問文なんだなという結論に至ります。
そして主語は your friend と3人称単数の形をとっていますので 2.Has が正しい答えとなります。

Has your friend sent a letter to her?
あなたの友達は彼女に手紙を送ったの？

この問題はあることに気が付けばすぐに解けます。
以前、第5文型の文を解説した時に出てきた「tell 人 to＋動詞の原形(人に～するように言いつける)」の形をとっているのに気が付けるかどうかがポイントです。
つまりこの問題は第5文型の文で、me と to study hard の間に主語述語の関係が成り立っています。
このように使う動詞は他に以下のようなものがありました。
動詞はその意味だけを覚えるだけでは不十分で、以下のように動詞の使い方も併せて覚えましょう。

tell 人 to 動詞の原形	人に～するように言いつける
ask 人 to 動詞の原形	人に～するように頼む
want 人 to 動詞の原形	人に～するように望む

My father told me to study hard.
私の父は私が一生懸命勉強するように言いつけた

この問題で主語になる単語は I で、動詞になりそうな単語は asked か sing ですね。
ですが、to がありますので、to＋動詞の原形という形を取りそうだなと考えると、sing ではなく asked が動詞だなと検討できます。
あとは先ほどの「tell 人 to 動詞の原形」の形を思い返すと以下のようになります。

I asked him to sing
私は彼に歌うように頼んだ

ここでは will が使われており、will の後ろは動詞の原形という決まりがありますので、help を will の後ろにおきます。
そして助ける相手は、ここでは you にしかなり得ないので you を続けます。
後は接続詞の if というのが見抜ければ、後は you are と主語動詞を続けて完成します。

I will help you if you are busy
もしあなたが忙しいのなら私はあなたを手伝うよ

この文の主語動詞についてですが、主語は The bus で、動詞は broke です。
taking はbe動詞があれば進行形として動詞になり得ますが、ここではbe動詞は選択肢の中に無いので動詞候補からは除外します。
そして、break down で「故障する」というイディオムを知っていたら、broke に続いて down を置きます。
後は take A to B(AをBに連れていく)という形に気が付ければ、taking って現在分詞の形容詞用法なんじゃ？と気づけ、The bus を修飾したら以下のようにうまくまとまります。
中学英語では -ing と言えば、be動詞とセットで使う現在進行形、名詞の働きをする動名詞、そして今回の用法である現在分詞の形容詞用法があり、この辺りを簡潔に覚えておけばすっと回答が導けます。
この3つの違いは＜こちら＞で解説していますので、あやふやな方は復習なさって下さい。

The bus taking me to the museum broke dawn
私をミュージアムに連れていくバスは故障した